入力飽和下での積分コントローラのクラスによるカオス発振器の安定化

Nov 07, 2023

Scientific Reports volume 13、記事番号: 5927 (2023) この記事を引用

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この研究では、アクチュエータの飽和を考慮した場合に望ましくない動作を防止するアンチワインドアップ構造を備えた積分コントローラの簡単な設計を示し、提案されたコントローラは、あるクラスの非線形発振器の閉ループダイナミクスの性能を向上させます。 提案された積分コントローラは、飽和時に積分動作をオフにする指定された制御誤差の絶対値を含む適応制御ゲインを備えています。 閉ループ安定性解析はリアプノフ理論の枠組みに基づいて実行され、システムが漸近的に安定して動作すると結論付けることができます。 提案された方法論は、調整および軌道追跡の目的で単一入力単一出力 (SISO) 構造を考慮して、Rikitake 型発振器に首尾よく適用されます。 比較のために、提案された制御構造の対応するアンチワインドアップ特性を分析するために、同等の固定ゲイン積分コントローラーも実装されています。 数値実験が行われ、提案されたコントローラの優れた性能が示されました。

非常に複雑な挙動を持つ非線形システムの制御は、現在、科学と工学における重要な課題です1、2、3、4。 よく知られているように、非線形システムは定常状態の多重度を示し、不安定なホモクリニックおよびヘテロクリニック多様体が存在する可能性があり 5,6、平衡点におけるゼロ固有値の局所的存在 7,8 や入力多重度現象など 9,10 が制御性に影響を与える可能性があります。特定の非線形システムの特性により、制御則の正しい設計が複雑になります11、12、13。

非線形システムの制御、あるいはカオス力学システムの制御さえも、数年間にわたって研究されてきました 14、15、16、17、18。 適応、スライディング モード、予測、入力から状態への線形化、ファジー ロジック、ニューラル ネットワーク、堅牢な比例積分 (PI) コントローラーなどのアプローチによるカオスの制御は、公開文献で成功裏に公開されています 19,20。 21、22、23、24、25。 しかし、前述の制御設計のほとんどは複雑な数学的フレームワークに基づいており、たとえば高度な最適化アルゴリズムやシステムの非線形モデルと組み合わせる必要があるため、エンジニアによるリアルタイムのアプリケーションや運用調整が複雑になる可能性があります25。 さらに、他にもいくつかの問題が残っています。そのうちの 1 つは、カオス発振器とそれぞれの操作可能な制御入力の物理的制限に関連しています。これは、発振器の対応する状態変数が上位のコンパクトなセットに属することができることがよく知られているためです。下限があり、操作可能な制御入力も最小および最大の物理値を持つ区間に属することがわかります26、27、28。

上記のことから、制御動作の飽和という従来の制御の問題が生じます。 実際の制御システムの設計において制御入力の飽和を考慮することの重要性は、よく研究されています。 コントローラーの飽和は、システムのダイナミクスの予想される閉ループのパフォーマンスを低下させ、極端な条件では閉ループの不安定性につながる可能性があります29。

現在、制御の飽和の解析はアンチワインドアップ設計によって行われており、公開文献では線形システムと PI コントローラーへの応用が主流となっています 30、31、32、33。 PI コントローラーは、線形および非線形システムの大部分で広く採用されており、比例項は必要な基準または設定点に近いシステムの動的挙動を安定させるように機能しますが、オフセットを減少させるには高い比例ゲイン値が必要です 34。 、制御変数の現在値と設定値の差を考慮するため、制御アクションが非常に合理的になります。 さらに、比例コントローラはノイズの多い測定値に敏感であり、システムが設定値に達すると、比例制御がオフになり、システムは開ループ動作になります。 この場合、外乱が存在するとシステムが不安定になる可能性があります34。 比例コントローラーの性能を向上させるために、制御誤差の積分項を追加できます。 積分項はオフセットを除去し、コントローラーの電源をオンに保ち、一部の外部外乱を排除することができます35。 上記の情報から、線形コントローラーの積分項のみがいくつかのシステムを調整すると考えられています。

実際、リニア コントローラに焦点を当てたアクチュエータの飽和は、積分ワインドアップ現象、積分器ワインドアップまたはリセット ワインドアップによって分析されています。これは、設定値に大きな変化が発生する比例積分 (PI) フィードバック レギュレータの状況を指します。そして積分項は増加するにつれて重大な誤差を蓄積します。 したがって、コントローラーはオーバーランになり、この蓄積されたエラーが解消されるにつれて増加し続けます。

前述の物理的制約は、PI コントローラーの積分項を含む制御設計に重要な影響を及ぼします。そのため、コントローラーが必要な基準点または軌道に到達せずに飽和状態に達した場合、システム全体が閉ループ動作していると見なされます。指定されたワインドアップ条件では、コントローラーの不可欠な部分は理論的には制御努力を追加し続けますが、物理的に飽和しており、理想的な問題はプロセスの飽和により物理的に解決できません。 つまり、プロセスの出力は物理スケールの最低または最高で制限され、制御エラーが一定になります。ここでの具体的な問題は冗長なオーバーシュートです35。

さらに、制御に関する飽和の分析はアンチワインドアップ設計によって実行されており、公開文献では線形システムへの適用が主流となっています 36、37、38、39。 アンチワインドアップ設計では、応答が満足のいく範囲に戻るまで、一定時間コントローラーをオフにする必要があります。これは、レギュレーターのプロセスが制御変数に影響を与えなくなったときに発生します。 実際のアプリケーションでは、このタスクはプロセス エンジニアによって手動で行われます。

この問題は、制御する必要があるプロセス変数が制御可能領域に入るまで、適切な範囲に設定値を追加して積分機能を無効にすることにより、問題が発生する前の値に応じて積分レギュレータをプリセット値に初期化することで対処できます。 これにより、積分項が所定の範囲を超えたり下回ったりして累積することが防止され、積分項が逆計算されて実行可能な範囲内にプロセスが制限されます。 積分項は、制御誤差がゼロと交差するかゼロに等しいたびに、強制的にゼロにする必要があります。 これにより、レギュレータが外乱と反対方向に同じ誤差積分をもつようにシステムを駆動する必要がなくなります40。

非線形システムのアンチワインドアップ制御設計は、実現可能なコントローラを設計する実際的な必要性により、現在、大きな課題となっています。たとえば、プラント反転によるコントローラの線形化などです。 ただし、このアプローチは、欠点である予測現象論モデルに基づいているだけでなく、ポントリャギンの最大原理またはオイラー・ラグランジュのアプローチに基づく最適制御技術に基づいており、安全なデータ伝送や化学システムの安定化などの重要な用途に使用されます。カオス発振器41、42、43。 上記の理由により、線形 PI コントローラーは首尾よく検討され、さまざまなアルゴリズムのコントローラーの統合部分をオフにすることでワインドアップ現象を回避するためのいくつかのアプローチが設計されています。 ただし、これらのコントローラーは構造が複雑で、物理的な実装が困難です。

この研究では、制御誤差と適応ゲインの積分のみを考慮する単純な制御戦略が提案されています。これにより、コントローラーが飽和状態になると制御動作が自動的にオフになり、ワインドアップ現象が回避されます。 提案されたコントローラーは、軌道の調整と追跡を目的とした非線形カオス発振器のクラスに首尾よく適用されます。

非線形発振器モデルは、安全なデータ伝送の枠組みの下で同期目的のベンチマークとして使用されており、非線形カオス発振器モデルに関する Chen、Van der Pool、Rikitake およびその他の研究に実用例が見られます。

Rikitake カオス力学システムは、地球の地磁気の不規則な極性切り替えを説明しようとするモデルです 49,50。 地球の磁場の頻繁かつ不規則な反転は、地球の溶融コア内の電流に関するいくつかの初期の研究に影響を与えました。 逆転現象を報告した最初のモデルの 1 つは、Rikitake 型 2 ディスク ダイナモ モデル 51 でした。 この系はローレンツ型のカオスを示し、2 つの不安定な固定点の周りを周回します。 このシステムは、結合された 2 つのダイナモ ディスクの電流を記述します。

Rikitake 型ダイナモ システムの 3 次元ダイナミクスは次のように説明されます。

ベクトル形式で記述することもできます。

ここで \({\bf {x}}=\left[ \begin{matrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{matrix}\right] ,\) \({\bf {A}}=\ left[ \begin{行列}-1&{}1&{}0\\ 0&{}-1&{}0\\ 0&{}0&{}-\delta \\ \end{行列}\right] , \) \ ({\bf {f}}\left( {\bf {x}}\right) =\left[ \begin{matrix}0\\ x_1x_3\\ \gamma ^2\left( 1-x_1x_2\right) \ \ \end{行列}\right] ,\) および \({\bf {B}}=\left[ \begin{行列}0\\ 0\\ 1\\ \end{行列}\right] .\ )

パラメータ値は \(\delta =0.01\) と \(\gamma =2.0\) です。

ここで、 \({\bf {x}}\ \in {\mathbb {R}}^3\) は状態変数ベクトルであり、コンパクト集合 \(\Phi \) に属し、自然に有界です。 \({\bf {f}}({\bf {x}})\) は滑らかなベクトル場であると想定されます。ここで、 \({\bf {f}}\left( \cdot \right) : {\ mathbb {R}}^3\rightarrow {\mathbb {R}}^3\) と \(u({\bf {x}})\in{ \mathbb {R}}\) です。

(3) の統合コントローラーは、軌道の調整と追跡を目的として、システム (2) の動的挙動を安定させます。

コントローラー (式 3) の下でシステム (1) の制御誤差のダイナミクスを次のように定義しましょう。

次に、Eq. (4) をベクトル表記に書き直すと次のようになります。

使用例: \({\bf {e}}=\left[ \begin{array}{l} e_1 \\e_2 \\e_3 \\e_4\\end{array}\right] , \) \(\Gamma ( {\bf{e}})=-\left[\begin{array}{llll} 1 &{} -1 &{} 0 &{} 0 \\ 0 &{} 1 &{} 0 &{} 0 \\ 0 &{} 0 &{} \delta &{} -k_3\text {abs}(e_3) \\0 &{} 0 &{} -1 &{} 0 \\\end{array}\ right ] , \) \({\bf {F}}({\bf {e}})=\left[\begin{array}{c}0 \\e_1e_3\\ -\gamma ^2e_1e_2\\0\ \ \end{array} \right] , \) および \(\Delta =\left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ \gamma ^2+\delta x_{3r} \\ 0 \ \ \end{配列}\right]。\)

前述の制御誤差は \({\bf {e}}={\bf {x}}-{\bf {x}}_r\)、つまり状態変数ベクトルの実際の値と状態変数ベクトルの実際の値との差として定義されます。基準ベクトル。 参照ベクトル \({\bf {x}}_r\) は、規制の場合は定数ベクトルですが、追跡の場合は変数です。

\(0\le \Vert {\bf {e}}\Vert \le {e}_B\); と仮定します。 \(0\le {e}_B <\infty \)、ここで \({e}_B\) は制御誤差の有限の上限です。次のように定義します。

以下の二次形式をリアプノフ関数として考えてみましょう。

対応する時間導関数は次のように定義されます。

式を代入すると、 (5) を式に代入します。 (9) は次のようになります。

式 (10) から次の結果が得られます。

レイリー不等式を式に適用すると、 (11):

次に、Eq. (12) から式 (12) (15) を式 (11) に代入します。

どこ：

式では、 (17)、\(\Vert {\bf {e}}\Vert _{\Gamma ^{*}}\) は次のように定義されます。

したがって、上記のことから、最終的な有界性により、調整誤差 \({\bf {e}}(t)\) は初期条件 \({\bf {e}} に対して一様に有界であると結論付けることができます。 (t_0)\)、\({\bf {e}}\left( t\right) =\{{\bf {e}}(t)|\ \Vert {\bf {e}}\Vert となる\le \mathfrak {R}; \ \mathfrak {R}>0\}\)、そして最後に:

数値シミュレーションは、Intel Core i7 プロセッサを搭載したパーソナル コンピュータで実行されました。式 1 のシステムは、 常微分方程式の (5) は、MATLAB の ode23s ライブラリ\(^{ \text {TM}}\) を使用し、対応する初期条件 \(x_{10} = 0.1\)、\(x_{20 McMillen51 によると、} = 0.1\) および \(x_{30} = 0.1\) です。 システムには単入力単出力制御 (SISO) 構成が選択されています。 システムは、起動から \(t = 100\) 時間単位まで開ループ領域にあり、コントローラー (式 3) がオンになり、 \(x_3\) が制御変数として提案されます。 最初のシミュレーション セットは、選択された基準点または設定点が \(x_{3r} = 1.0\) である規制目的で実行され、2 番目のシミュレーション セットは追跡ケースで実行されます。システム (1) は次のとおりです。 \(x_{3r} = 2.5\ \sin (0.1t + 0.5)\) で記述された軌道に従うことを強制されます。 両方の制御要件、つまり規制と追跡について、制御の飽和は次の下限と上限で与えられます。

\(u_{min}=-10\) と \(u_{max}=20\) を設定します。

比較の目的で、固定ゲインを備えた同様の標準積分コントローラーが次のように適用されます。

ここで、コントローラー (式 21) とコントローラー (式 3) の動作について最も類似した条件を達成するために、制御ゲイン \(k_1 = -1.0\) は両方の制御則で等しくなります。

図 1 は、制御の場合の制御状態変数 \(x_3\) の開ループと閉ループの動的挙動を示しています。 観察されたように、対応する軌道は、提案されたコントローラーの参照点 \(x_{3r} = 1.0\) にほぼ即座に到達します。 さらに、積分コントローラーが動作している場合、対応する軌道の振動オーバーシュートは大きくなり、さらに積分コントローラーは持続的な振動を持つ制御状態 \(x_3\) の動的挙動を制御できません。

\(x_3\) の制御制御。

図 2 と図 3 は、それぞれ、制御されていない状態変数の軌道 \(x_1\) と \(x_2\) の開ループと閉ループのパフォーマンスを示しています。 制御された状態変数 \(x_3\) のパフォーマンスの結果として、提案されたコントローラーの作用下で振動挙動が抑制され、軌道はスムーズに定常状態に導かれます。 さらに、積分コントローラの動作下で制御されていない状態変数の軌跡は、制御動作が開始された後も振動挙動を維持し、最終的には定常状態に達します。

制御されていない変数 \(x_1\) の軌跡。

制御されていない変数 \(x_2\) の軌跡。

状態変数のパフォーマンスを図 4 に示します。図 4 には、図 3 と図 4 で述べた条件下での位相の図が示されています。 提案されたコントローラーの下での対応する軌道は、\(x_3 = x_{3r}\) で前述の定常状態に到達し、振動挙動は抑制されます。 ただし、積分コントローラーによって引き起こされる対応する軌道は広い比率で振動を維持し、軌道は振動挙動を維持します。

レギュレーション制御の位相ポートレート。

制御信号が規制問題の影響を受ける。

両方のコントローラーの下での状態変数の上記の動作は、比較中の両方のコントローラーのパフォーマンスによって説明できます。 図 5 は、制御努力のパフォーマンスを示しています。 提案されたコントローラーはスムーズな動作を示し、実際には飽和状態に達しません。 予想どおり、コントローラーは望ましいアンチワインドアップ応答を備えており、制御された状態変数の軌道を必要な設定値に導き、前述のように、制御されていない状態変数の振動応答を防ぎます。 積分制御則は、オン中に下限と上限の両方の彩度を示します。これはワインドアップ効果と呼ばれます。 閉ループレジメンの開始時に発生する大きな振動と、実際のアプリケーションにおける定常状態での持続的な振動により、制御の労力が非常に高いことがわかります。 これらの特性は、制御アクチュエータに物理的損傷を与える可能性があるため、望ましくないものです。 最後に、調整の場合について、図 6 は、名前付き調整誤差 E の動的パフォーマンスを示しています。制御が \(t = 100\) 時間単位で発生する場合、提案されたコントローラーがオンになったとき、調整誤差はゼロになります。上記のすべての結果に従って。 積分制御則の場合、予期された振動動作が観察され、必要な設定値に到達していないことが示されます。

レギュレーションエラー。

ここで、提案されたコントローラは、前述したように、制御対象を追跡軌道の場合に変更して、制御状態変数を特定の正弦波軌道に従うように強制することもできます。 提案されたコントローラーと積分コントローラーのパフォーマンスを示すために、同様の一連の数値シミュレーションが実行されました。 図 7 は、制御された状態変数 \(x_3\) の開ループと閉ループの動的動作を示しており、コントローラーは \(t = 100\) 時間単位でオンになります。 提案されたコントローラーは、動的軌道を導き、ほぼ瞬時にオーバーシュートのない必要な正弦波軌道に導きますが、設定時に観察されたように、積分制御則により大きなオーバーシュートが発生し、コントローラーは必要な軌道に到達できません。

軌跡を追跡します。

図 8 と図 9 は、追跡軌道の場合の、制御されていない状態変数 \(x_1\) と \(x_2\) の動的挙動を示しています。 制御された状態変数 \(x_3\) の正弦波挙動は、制御されていない状態の複雑な振動の抑制につながり、より早く定常状態に到達します。

制御されていない変数 \(x_1\) の動作。

制御されていない変数 \(x_2\) の動作。

調整の場合と同様に、追跡軌道の場合の位相図を図 10 に示します。上記の場合と同様、対応する振動挙動に関連する広い軌道は、積分コントローラの動作に関連します。 これは、 \(x_3\) 軌道を正弦波基準軌道に到達させる、提案された制御則の作用によって強制される狭い軌道とは異なります。

図 11 は、両方のコントローラーの制御努力のパフォーマンスに関連しています。 観察できるように、積分制御は再び上下の飽和に見舞われ、コントローラーがシステムを基準軌道に到達させることができなくなり、制御努力に大きな振動が発生しますが、これは前述したように望ましくないことです。 ただし、提案されたコントローラーにはアンチワインドアップ効果があり、飽和現象を防止し、コントローラーが必要な閉ループ目標を適切に強制できるようにします。 提案されたコントローラーは滑らかな振動を持っていることに注意してください。これは、所望の追跡軌道を維持するために必要です。 最後に、図 12 にトラッキングエラーのパフォーマンスを示します。 ここで、提案されたコントローラは、時間遅延、オーバーシュート、または大きな設定時間なしに、その制御目標を適切に達成すると結論付けられます。 さらに、積分制御則は所望の軌道に到達せず、大きな振動を伴う望ましくないパフォーマンスを示します。

追跡軌道の位相ポートレート。

トラッキング軌道の下で信号を制御します。

追跡軌道エラー。

この研究では、適応ゲインを備えたクラスの積分コントローラーの代替設計を提示します。 適応ゲインは制御誤差の絶対値の関数であり、主な目的は、コントローラーが飽和したときに制御動作をオフにして、いわゆるワインドアップ現象を防ぐことです。 提案された方法論は、提案された制御設計が制御飽和の場合のワインドアップ現象を防ぐことができるように、調整と軌道追跡の両方の目的で力武型カオス発振器に首尾よく適用されます。 数値実験により、検討した方法論のパフォーマンスが示され、提案されたコントローラーが固定制御ゲインを持つ同等の積分コントローラーと比較されます。

現在の研究中に使用および/または分析されたデータセットは、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。

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この研究は、研究助成金 SIP20221338 の下、国立工科大学 (SIP-IPN) の事務局から支援を受けました。

バイオテクノロジーおよびバイオエンジニアリング学部、CINVESTAV、メキシコシティ、07360、メキシコ

リカルド・アギラール・ロペス

UPIITA、先端技術部門、国立工科大学、メキシコシティ、07340、メキシコ

フアン・L・マタ＝マチュカ

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RAL は研究を概念化し、数値実験を実施し、JLMM は設計を実施し、解析を実行し、資金を組織しました。 著者全員が原稿をレビューしました。

フアン・L・マタ＝マチュカへの通信。

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

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転載と許可

Aguilar-López, R.、Mata-Machuca, JL 入力飽和下での積分コントローラーのクラスによるカオス発振器の安定化。 Sci Rep 13、5927 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-023-33201-3

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受信日: 2022 年 7 月 20 日

受理日: 2023 年 4 月 8 日

公開日: 2023 年 4 月 12 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-33201-3

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